最早发明的自平衡二叉树AVL

平衡思路超简单，最早发明的自平衡二叉树，也是查询速度最快的平衡树，

前言

默认读者会基本的 BST 操作。

基本操作

节点定义

平衡因子：BF(BalanceFactor)，左子树高 $-$ 右子树高。
平衡树是让树的形态尽可能像完全二叉树，而不是链。

在 AVL 中，我们认为 $\left| BF \right| \le 1$ ，也就是 $BF$ 为 $0$ ， $1$ ， $-1$ 时的子树是平衡的，否则就是不平衡的。

struct node{
    int ch[2], size, val, h;//h 是树高
}d[N];
int root, tot;
#define ls(x) d[x].ch[0]
#define rs(x) d[x].ch[1]
#define getBF(x) (d[ls(x)].h - d[rs(x)].h)//计算平衡因子

旋转

rotate 操作是把某个给定节点上移一个位置，并保证二叉搜索树的性质不改变。
旋转操作分为左旋和右旋（图上节点是编号）。

我们来模拟一下右旋的操作（红色是要删除的，蓝色是更改后的）。

这样就完成了一次旋转。
而在实现中，我会把左右旋写在一起。
这里的 rotate(x, 0) 表示将 $x$ 的左儿子提到 $x$ 的高度。
这里的 rotate(x, 1) 表示将 $x$ 的右儿子提到 $x$ 的高度。

void rotate(int&now, int dir){
    int t = d[now].ch[dir];
    d[now].ch[dir] = d[t].ch[!dir];
    d[t].ch[!dir] = now;
    pushup(now), pushup(t), now = t;
}

平衡维护

如果它是平衡的，那么我们更新节点。
否则，我们考虑左子树过高的情况（右儿子同理），即 $BF > 1$ ：
我们又两种可能：
左儿子的左子树较高：
图中的数字是树高。

左儿子的右子树较高：
我们先转换成第一种，再平衡。

void maintain(int&x){//引用
    int BF = getBF(x);
    if(BF > 1){
        if(getBF(ls(x)) <= 0)rotate(ls(x), 1);//转换成第一种。
        rotate(x, 0);
    }
    else if(BF < -1)(getBF(rs(x)) >= 0) && (rotate(rs(x), 0), 1), rotate(x, 1);	
    else if(x)pushup(x);
}

插入

这里我们递归插入，然后在返回时维护平衡即可。

void insert(int&now, int val){
    if(!now)return void(now = newnode(val));//空节点
    if(d[now].val < val)insert(rs(now), val);
    else insert(ls(now), val);
    maintain(now);//维护平衡
}

删除

如果删除节点最多有一个儿子，那么我们用它的儿子顶替它。
否则和后继交换。

记得在返回时维护。

void del(int&now, int val){
    if(!now)return;
    if(d[now].val == val){
        int w = now;
        if(ls(now) && (w = rs(now))){//和后继交换，并删除后继
            while(ls(w))w = ls(w);
            d[now].val = d[w].val, del(rs(now), d[w].val);
        }
        else now = ls(now) ? ls(now) : rs(now);//和儿子交换
    }
    else if(d[now].val < val)del(rs(now), val);
    else del(ls(now), val);
    maintain(now);
}

复杂度证明

设 $f_n$ 为高度为 $n$ 的 AVL 树所包含的最少节点数，则有

f_n= \begin{cases} 1&(n=1)\\ 2&(n=2)\\ f_{n-1}+f_{n-2}+1& (n>2) \end{cases}

根据常系数非齐次线性差分方程的解法， $\{f_n+1\}$ 是一个斐波那契数列。这里 $f_n$ 的通项为：

f_n=\frac{5+2\sqrt{5}}{5}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n+\frac{5-2\sqrt{5}}{5}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n-1

斐波那契数列以指数的速度增长，对于树高 $n$ 有：

n<\log_{\phi} (f_n+1)<\frac{3}{2}\log_2 (f_n+1) n

因此 AVL 树的高度为 $O(\log f_n)$ ，这里的 $f_n$ 为结点数。

代码

P3369

可持久化

之后补。

最早发明的自平衡二叉树：AVL

前言

基本操作

节点定义

旋转

平衡维护

插入

删除

复杂度证明

代码

可持久化